La prueba del nueve.

Hace tiempo se enseñaba en los colegios una curiosa forma de comprobar si el resultado de una división que uno ha hecho a mano es correcto. Se llama "la prueba del nueve", y la encontré en la "enciclopedia escolar" que usaba mi padre como libro de texto en segundo grado cerca del año cincuenta y cuatro o cincuenta y cinco. En ella, aparte de cosas edificantes sobre urbanismo como que "el saludo en cualquier circunstancia debe iniciarlo el inferior" aprendemos el siguiente método.


Digamos que hemos hecho una división de números enteros positivos, por ejemplo 8.058 entre 237. Hemos obtenido 34 (exacto, sin resto) y queremos comprobar que está bien. Desde luego, podemos multiplicar 34 por 237 y ver si da 8.058, pero para números grandes eso es largo y pesado, así que es útil disponer de una forma más rápida. La prueba del nueve consiste en tomar el número inicial, aquí 8.058, y sumar sus cifras, y hacerlo de nuevo hasta que quede una sola cifra: 8+0+5+8=21, 2+1=3. Nos quedamos con el tres y hacemos lo mismo con los otros dos números, el divisor y el supuesto cociente:

2+3+7 = 12, 1+2 = 3
3+4 = 7

Ahora multiplicamos los dos números de una cifra que acabamos de obtener, 3 y 7, y repetimos el proceso:

3x7 = 21, 2+1 = 3

Como da tres, que es lo mismo que obtuvimos al realizar el proceso con el dividendo (8.058), la prueba es correcta para esta división. Si obtenemos algo distinto la prueba dice que la división está mal.

Un segundo ejemplo: 836.652 entre 678.

Creemos que da 1.244.

¿Es verdad?

836.652: 8+3+6+6+5+2 = 30, 3+0 = 3
678: 6+7+8 = 21, 2+1 = 3
1.244: 1+2+4+4 = 11, 1+1 = 2

Como 3x2=6, que no es el primer 3 que obtuvimos, la prueba dice que la división está mal (el resultado correcto es 1.234, con el cual la prueba sí funciona).

Por algún motivo, al hacer la prueba en un papel solían escribirse los números dentro de los huecos que quedan al hacer dos trazos formando una X (los tres que se obtienen de dividendo, divisor y cociente y el de multiplicar divisor por cociente). Recuerdo que de pequeño cuando ya estaba harto de multiplicar números para ver si las divisiones de los deberes estaban bien, mi padre me enseñó esta forma de comprobarlo. Al día siguiente se lo enseñé al profesor en clase, y me dijo que "bueno, está bien, pero es mejor que hagas las multiplicaciones para aprender".

Pienso que es justo al revés:

Primero, esta prueba enseña que pueden inventarse formas más interesantes de hacer las cosas, y además tiene cierto misterio si uno se pregunta por qué debería funcionar. Si uno se pregunta eso, enseña mucho más que todas las multiplicaciones y divisiones que puedas hacer.

¿Y por qué funciona?
De hecho,

¿Cómo sabe uno que funciona?. ¿Siempre que la prueba sale bien la división es correcta?

¿Siempre que sale mal está mal la división?.

¿Puedes modificar la prueba para divisiones que no sean exactas (con resto)?