Tan gramas

Una actividad digna de ser revisada y estudiada es la de los tangramas que, para sorpresa de quienes algo saben, son varios y con un poco de ingenio pueden transformarse en un vicio.

Acomode las fichas como muestra la figura de modo de que los colores de fichas adyacentes coincidan. Las piezas pueden rotarse.

Acomode todas las piezas de la figura de modo de formar un cuadrado.

Ubique las piezas de la figura de modo de formar una cruz. Este rompecabezas es de origen chino, y data de la primera mitad del siglo XIX.

Ordene todas las piezas para formar un cuadrado. Este rompecabezas formaba parte del catálogo de la compañía Richter bajo el nombre Nicht zu hitzig.

Ubique todas las piezas en un tablero de 8x8 de modo de que no haya dos círculos en la misma hilera, columna o en diagonal. Como ejemplo, la figura de la derecha muestra situaciones incorrectas, pues los círculos se encuentran en la misma diagonal. Este es una versión del problema conocido como El problema de las ocho reinas. Fue propuesto por primera vez en 1848 por Max Bezzel, quién preguntó ¿Cuál es el mayor número de reinas que se puede ubicar en un tablero de ajedrez de modo de que ninguna sea atacada por ninguna otra?.

Ordene las piezas de la figura de modo de formar un cuadrado. Este rompecabezas fue comercializado a fines del siglo XIX por la compañía A.N.Myers de Londres bajo el nombre de "Rompecabezas egipcio".

Con las piezas anteriores forme la figura que esta debajo.

Ordene las piezas de modo de formar un cuadrado.

Arregle las piezas de modo de formar un triángulo equilátero.

Este rompecabezas formaba parte del catálogo de la compañía Richter bajo el nombre Pyramide. Estos rompecabezas se hicieron muy populares durante la primera guerra mundial, donde eran utilizados en las trincheras para ocupar y entretener a las tropas.

Arregle las piezas de modo de formar un rectángulo con un lado dos veces más largo que el otro. Este rompecabezas formaba parte del catálogo de la compañía Richter bajo el nombre Böse Sieben. Estos rompecabezas tambien se hicieron muy populares durante la primera guerra mundial, donde eran utilizados en las trincheras para ocupar y entretener a las tropas. Cosas de la guerra.

Acomode las fichas en un tablero de 3x3 de modo de que los colores de las fichas adyacentes coincidan y se forma la letra T, como muestra la figura de la derecha.

El primer rompecabezas de este tipo fue patentado en 1893 y utilizado por la Calumet Baking Power Co., Chicago como medio de promoción. Varias otras versiones fueron utilizadas en publicidades a principios del siglo XX, y más recientemente por las aerolíneas KLM y los Juegos Olímpicos de Los Angeles.

Acomode las fichas de modo de formar un corazón, como muestra la figura de la derecha.

Acomode las fichas de modo de formar una cruz.

Luego Acomode las fichas de modo de formar un cuadrado.

Este es un ejemplo de problema de disección, donde hay que cortar una forma geométrica en la menor cantidad posible de piezas que pueden ser reacomodadas para formar una nueva forma.
Este problema en particular muestra cómo cortar una cruz formando piezas que puedan ser reacomodadas para formar un cuadrado

Acomode las piezas de modo de :

• formar un octágono regular.
• formar una cruz.

Acomode las piezas de modo de formar un rectangulo y luego una cruz .

Este Tangrama es conocido como el Doble Siete Pitagorico, dado que con dos juegos de piezas se puede lograr mucho mas de lo que parece. Ya hablaremos de sus potencialidades

Acomode las piezas de modo de formar una cruz.

Acomode las piezas de modo de formar:

• Un cuadrado.
• Rectángulo con un lado dos veces más largo que el otro.
• Triángulo rectángulo isósceles.
• Arme la figura que se muestra a debajo.

Acomode las piezas de modo de formar la letra M.

Acomode las piezas de modo de formar la letra H.

Este rompecabezas es una adaptación del clásico rompecabezas de la "T" .Fue utilizado por la Compañía Hathaway Bread Company para promocionar sus productos.

Acomode las piezas de modo de formar la letra T.

Este rompecabezas fue utilizado a principios del siglo XX en diversas publicidades de productos, como el té White Rose Ceylon, de New York, y las salchichas hechas por Armour & Co., Chicago.

Para mas referencias visiten la pagina http://www.mlevitus.com/rompecabezas.html de Marcia Levitus, a quien descaradamente hurte los modelos.

Revisen ademas http://www.arrakis.es/~mcj/tangram.htm

Mosaicos Regulares y Semiregulares

Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas.

Han de cumplirse dos condiciones:

• No pueden superponerse.

• No pueden dejar huecos sin recubrir.

Con estas dos condiciones es claro que el número de mosaicos diferentes es ilimitado.

Empezaremos estudiando los casos más sencillos, y a partir de ahí la imaginación de cada uno.

1.- MOSAICOS REGULARES.

Hablamos de mosaicos regulares cuando se utiliza únicamente un polígono regular.

Es fácil ver que solo es posible construir tres mosaicos utilizando como tesela un polígono regular.

M1 TRIANGULO	M2 CUADRADO	M3 HEXÁGONO
Mosaico : 3,3,3,3,3,3 = 36	4,4,4,4 = 44	6,6,6 = 63

La nomenclatura abreviada hace alusión al número de lados de los polígonos regulares que concurren en cada vértice, suele utilizarse la notación en forma de potencia por simplicidad de escritura.

2.- MOSAICOS SEMIREGULARES.

Por mosaicos semiregulares entendemos aquellos que están formados por más de un polígono regular.

2.1 MOSAICOS UNIFORMES

En todos los vértices concurren los mismos polígonos regulares, y además en el mismo orden. Suele decirse que los vértices son iguales o del mismo orden.

Solamente existen 8 mosaicos con estas características.

M4: 4,6,12	M5: 4,8,8 = 4,82	M6: 3,12,12 = 3,122	M7 3,6,3,6,
M8:3,4,6,4	M9: 3,3,3,3,6 = 34,6	M10: 3,3,4,3,4 = 32,4,3,4	M'10: 3,3,3,4,4 = 33,42

** Los dos últimos están formados por los mismos polígonos, en diferente orden. Al rellenar el plano forman mosaicos diferentes.

También podemos formar variantes en orden de M7 y M8 , pero a diferencia de estos, no generan mosaicos uniformes.

M'7 : 3,3,6,6,	M'8: 3,6,4,4

Estos últimos, al intentar expandirlos en el plano, aparecen vértices de mas de un tipo.

2.2 MOSAICOS NO UNIFORMES. Existen también otras configuraciones de polígonos regulares tales que las suma de sus ángulos es 360. Pero que a diferencia de los anteriores, esta disposición no puede repetirse indefinidamente en el plano sin que haya solapamiento ni huecos. Son también mosaicos semiregulares pero son no uniformes. Son necesarios vértices de más de un tipo para poder recubrir el plano.

Solamente hay 7 mosaicos de este tipo.

M12: 5,5,10	M13: 4,5,20	M14:3,7,42
M15: 3,8,24	M16: 3,9,18	M17: 3,10,15
3,3,4,12	3,4,3,12	En las dos imágenes de la izquierda, en cada vértice concurren los mismos polígonos, en diferente orden. Los mosaicos que pueden generarse a partir de ellos son bien diferentes.

3.-OTROS MOSAICOS.

3.-1 Mosaicos generados por un cuadrilátero.

Paginas con Información sobre Mosaicos.

http://platea.cnice.mecd.es/~mcarrier/ con Cabri Géomètre. Hace un estudio sistemático de mosaicos regulares y semirregulares. Muy Interesante.

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Indice_%20teselacion.htm Con Applet Descartes.

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm

http://www.geocities.com/teselados/ .

Paramas informacion, revisen esta pagina

http://roble.cnice.mecd.es/~jarran2/cabriweb/Mosaicos/mosaicos.htm

Mosaicos

Una forma sencilla de conseguir mosaicos consiste en deformar un polígono regulartal como un tríangulo equilátero, cuadrado o un hexágono regular.

La idea es simple:

se elimina una parte de un lado del polígono para añadirla a otro lado y se aplica una Tralación o un Giro.

Repetiremos este par de acciones y siguiendo siempre el mismo criterio obtenemos la figura que deseemos.

Este mosaico encajará con el resto en virtud del proceso de construcción que hayamos seguido.

Una buena referencia en flash esta en esta

http://centros.edu.aytolacoruna.es/iesadormideras/mosaicos/constflash.html

Recomiendo revisar esat direccion http://www.geocities.com/teselados/

software matematico

El uso del computador en el aula suele causar algunos pequeños e inocentes inconvenientes, mas por ello se hace necesario y altamente conveniente que los estudiantes tengan acceso a diversas plataformas y su consecuente aplicación en el proceso educativo

Me atrevo a mencionar algunos y pretendo en un plazo breve incorporar actividades que faciliten la comprensión y uso de tales

Graphmatica

Graphmatica es un editor gráfico, interactivo, de ecuaciones algebraicas que puede ser usado como una ayuda para dibujar curvas matemáticas. Al mismo tiempo que ha sido diseñado para ser extremadamente simple en su uso, sus avanzadas características no resultan evidentes en un primer momento.


Winplot

Winplot es un programa graficador de funciones de propósito general que permite dibujar y animar curvas y líneas que representan funciones matemáticas en una variedad de formatos.

Regla y compás informacion


Una de las carencias en el sistema de formación es la inadecuada y humilde propuesta de la geometría en la formación del pensamiento de los estudiantes. Este programa pretende dar una respuesta a la formación de criterios gráficos en quienes le dediquen tiempo.

Geogebra

Una las aplicaciones mas novedosas en el estudio de la geometría y el álgebra. Anexo dos links

Con java Sin java


Cabri

Este último es uno de los conocidos en el área de la geometría. Pese a que el software es de evaluación permite un buen número de aplicaciones

Finalmente y para dejar una perspectiva mas amplia anexo un link de referencias a todo tipo de software matemático

Links

material de estudio para segundo medio

Es de mí parecer el entregar a los estudiantes un conjunto de materiales de apoyo que simplifique la comprensión de aquellos temas que nos atañen en la asignatura.

Es fácilmente esperable que este documento sufra algunas modificaciones al mismo tiempo que varias complementaciones.

Unidad_2.pdf


Por cierto, tal material ha sido desarrollado por el proyecto área matemática del colegio San Mateo http://www.areamatematica.cl/, a quienes agradezco tamaño esfuerzo.

Solo tratare de complementar humildemente lo ya iniciado.

Ahora jóvenes, es momento de estudiar.

El apunte inicial solo nos da una perspectiva general de nuestras metas, no la meta en si.
En función de una serie de ejercicios, análisis de problemas y aplicacion de las respectivas herramientas sera mas sencillo el identificar momentos de aplicacion.

Todo depende de ustedes.

la primera guia de funcion lineal

Algunos enunciados

links de cabri

http://roble.cnice.mecd.es/~jarran2/cabriweb/Billart21.htm

http://roble.cnice.mecd.es/~jarran2/enlaces/CabriII.htm

http://www.terra.es/personal/joseantm/

http://www.mismates.net/matematicas/cabri/cabri_primaria.htm#curriculo

http://www.abcdatos.com/programas/programa/l7899.html manual

http://www.personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/

http://www.cabri.com/v2/pages/es/index.php descargas

http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=indice

Matemáticas en el Desierto

Las matemáticas que se estudian en la enseñanza básica tienen contraída una deuda de gratitud con los sabios árabes de la edad media que por medio de la introducción del 0 (ese maldito número que tanto gusta a algunos profesores) facilitaron la creación de los algoritmos (en honor a Al-Waritmi), que no son otra cosa que las reglas que conocemos para efectuar las operaciones y que eran completamente desconocidas por los griegos.
La enseñanza de esta disciplina, reservada a los hijos de los poderosos, se hacía acompañada del relato de historias intrigantes que estimulaban la imaginación de los pupilos. Una muestra de ellas la podemos encontrar en el libro “El hombre que Calculaba” de Malba Tahan.

 

 

Capitulo III: Donde se narra la singular aventura de los treinta y cinco camellos que tenían que ser repartidos entre tres hermanos árabes. Cómo Beremiz Samir, el Hombre que Calculaba, efectuó un reparto que parecía imposible, dejando plenamente satisfechos a los tres querellantes. El lucro inesperado que obtuvimos con la transacción.

        Hacía pocas horas que viajábamos sin detenernos cuando nos ocurrió una aventura digna de ser relatada en la que mi compañero Beremiz, con gran talento puso en práctica sus habilidades de eximio cultivador del Álgebra.
        Cerca de un viejo albergue de caravanas medio abandonado, vimos tres hombres que discutían acaloradamente junto a un hato de camellos.
        Entre gritos e improperios. en plena discusión, braceando como posesos, se oían exclamaciones:
        –¡Que no puede ser!
        –¡Es un robo!
– ¡Pues yo no estoy de acuerdo!
        El inteligente Beremiz procuró informarse de lo que discutían.

 

Somos hermanos, explicó el más viejo, y recibimos como herencia esos 35 camellos. Según la voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad. a mi hermano Hamed Namir una tercera parte y a Harim, el más joven, sólo la novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo efectuar la partición y a cada reparto propuesto por uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos. Ninguna de las particiones ensayadas hasta el momento nos ha ofrecido un resultado aceptable. Si la mitad de 35 es 17 y medio. si la tercera parte y también la novena de dicha cantidad tampoco son exactas ¿cómo proceder a tal partición?

 

 

  –Muy sencillo. dijo el Hombre que Calculaba. Yo me comprometo a hacer con justicia ese reparto, mas antes permítanme que una a esos 35 camellos de la herencia este espléndido animal que nos trajo aquí en buena hora.
        En este punto intervine en la cuestión.
        –¿Cómo voy a permitir semejante locura? Cómo vamos a seguir el viaje si nos quedamos sin el camello?
–No te preocupes, bagdalí, me dijo en voz baja Beremiz. Sé muy bien lo que estoy haciendo. Cédeme tu camello y verás a qué conclusión llegamos.
        Y tal fue el tono de seguridad con que lo dijo que le entregué sin el menor titubeo mi bello jamal, que. inmediatamente. pasó a incrementar la cáfila que debía ser repartida entre los tres herederos.
–Amigos míos. dijo, voy a hacer la división justa y exacta de los camellos. que como ahora ven son 36.         
        Y volviéndose hacia el más viejo de los hermanos, habló así:
–Tendrías que recibir, amigo mío, la mitad de 35. esto es: 17 y medio. Pues bien, recibirás la mitad de 36 y por tanto. 18. Nada tienes que reclamar puesto que sales ganando con esta división.  

       Y dirigiéndose al segundo heredero continuó:

        –Y tú, Hamed. tendrías que recibir un tercio de 35, es decir 11 y poco más. Recibirás un tercio de 36, esto es, 12. No podrás protestar, pues también tú sales ganando en la división.
Y por fin dijo al más joven :         

        –Y tú, joven Harim Namir, según la última voluntad de tu padre., tendrías que recibir una novena parte de 35, o sea 3 camellos y parte del otro. Sin embargo, te daré la novena parte de 36 o sea, 4. Tu ganancia será también notable y bien podrás agradecerme el resultado.
        Y concluyó con la mayor seguridad:
        – Por esta ventajosa división que a todos ha favorecido, corresponden 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero. lo que da un resultado – 18 + 12 + 4 – de 34 camellos. De los 36 camellos sobran por tanto dos. Uno, como saben, pertenece
al bagdalí, mi amigo y compañero; otro es justo que me corresponda, por haber resuelto a satisfacción de todos el complicado problema de la herencia.

        –Eres inteligente, extranjero, exclamó el más viejo de los tres hermanos. y aceptamos tu división con la seguridad de que fue hecha con justicia y equidad.
        Y el astuto Beremiz – el Hombre que Calculaba – tomó posesión de uno de los más bellos jamales del hato, y me dijo entregándome por la rienda el animal que me pertenecía:
        –Ahora podrás, querido amigo, continuar el viaje en tu camello manso y seguro. Tengo otro para mi especial servicio.
        ... Y seguimos camino hacia Bagdad.              

 

Técnica general para cuadrados de numeros de dos cifras

Bastara con observar el siguiente ejemplo para a clarificar el proceso

-Cuadrado de la decena
-Decena por unidad por dos
-Cuadrado de la unidad

Sumar ordenadamente

Como es facil ver la idea es que la decena de cada cifra se encuentra sumada con la unidad del numero superior.

Intentelo y compare su velocidad

Si ha estudiado antes algo de algebra este método le parecera conocido, pero quiza con el nombre de Cuadrado del Bimomio.